"רב" או בשמו האמיתי "אבא בר אייבו" נולד בבבל בתקופה בה היו ישובים גדולים של יהודים בבבל. בימי רבינו הקדוש עלו כמה מגדולי החכמים מבבל לארץ ישראל, ביניהם רבי חיא ובניו, רבי חנינא, לוי ואחרים. הם סייעו לרבינו הקדוש ללקט ולסדר את ששת סדרי המשנה. 

 
בין החכמים שעלו לארץ היה גם רב. 

 
רב היה כינוי שכינוהו היהודים, כשם שאת רבי יהודה הנשיא כינו בשם 'רבי'. שמו הפרטי היה אבא, ולאביו קראו אייבו.
מוצאו של רב הוא ממשפחה מיוחסת של תלמידי חכמים גדולים ומכובדים, אביו אייבו היה אף הוא תלמיד חכם יחד עם ארבעת אחיו, כאשר המפורסם מכולם הוא רבי חיא בר אבא, ידידו הגדול של רבי. 

 
מלבד כשרונות מצויינים, הצטיין רב בתואר פנים מופלא. הוא היה גדל קומה, רחב כתפיים ויפה מראה. בשל כך כינו אותו לעיתים "אבא אריכא". 

 
עוד בשנות חייו הצעירות עלה אבא בר אייבו לארץ ישראל שם למד ושקד בתורה אצל דודו רבי חייא אשר קירבו במאוד. רבי חייא מינה את רב לנהל את נכסיו ומכך הוא מצא כדי מחייתו מכיוון שסירב ליהנות בחינם מדודו. הוא הצטיין מאוד בלימודיו עד כדי שרבי חייא מינהו ל"מתורגמן" שלו (באותם הימים היה נהוג כי לכל רב היה מתורגמן שהיה מסביר את דברי הרב לשומעים) ואף הסמיכו לרבנות. הוא חיבב אותו כבן וכינהו בכינויי חיבה רבים. 

 
רבי חייא שיבח את אחיינו בפני ידידו הטוב, רבי יהודה הנשיא. רבי הזמין את רב הצעיר לסעוד על שולחנו, ורבי חייא הדריך אותו כיצד לנהוג בשעת הסעודה. 

 
לאחר שמילא את ליבו ומוחו בתורה ובחוכמה, החליט רב לבקר בבבל במשך זמן קצר. הוא ביקר בעיר נהרדעא, שם הסביר וליבן לפני בני הישיבה הלכות רבות. 

 
במשך שהותו בבבל נפטרו אביו ואמו של רב. כששב שאלוהו רבי חייא דודו לשלום אביו ואמו. "אייבו קיים"? הוא שאל, אך רב לא רצה להוציא מפיו בשורה לא טובה והשיב בשאלה "אמא קיימת"? כלומר, מדוע אינך שואל לשלום אימי. כששב רבי חייא ושאל "אמא קיימת"? השיב שוב רב בשאלה "אייבו קיים"? בכך הבין רבי חייא כי הן אייבו אחיו והן אשתו אינם עוד בין החיים. 

 
כששב לארץ ישראל נקשר רב בקשר חזק לרבי. הוא למד בישיבתו והיה לאחד מבחירי התלמידים. במשך הזמן צירפו רבי לבית דינו, וכשעבר רבי עם בית דינו לציפורי נטל עמו גם את רב. 

 
הגמרא מספרת על פגישה של אוסי בר הני עם רבי יוחנן, במהלכה שוחחו על רב ואוסי כינהו בשם "אבא אריכא" (על שם גובהו, כאמור). רבי יוחנן התרעם עליו: "אתה קורא לו אבא אריכא? זכורני כאשר ישבתי בשבעה עשר טורים אחרי רב, בבית מדרשו של רבי, יצאו זיקוקין דינור (להבות אש) מפי רב לפיו של רבי, ולא הבנתי מלה אחת ממה שמדברים הם ביניהם, ואתה, "אבא אריכא" תקרא לו"?! 

 
רב הצטיין מאד גם בידיעתו הרחבה והעניפה בענפי חכמה שונים. הוא היה בקי בחכמת הרפואה ובמדעי הטבע, הוא ידע אלו עשבים מועילים ואלו מזיקים. הוא התמצא מאד בפרשת חיי העוף והחי. בנוסף, היה בקי גם בגיאוגרפיה ובמדעים אחרים. הוא למד מדעים אלו כדי לדעת כיצד לפסוק על בוריין שאלות מסובכות שהופיעו לפניו. 

 
כך, לדוגמא, מספרת הגמרא שבמשך 18 חודשים למד רב אצל רועה אי אלו מומים הם תמידיים ואי אלו מומים הנם מומים חולפים, למען יוכל לפסוק איזה מום פוסל את הבכור. 

 
רב היה בקי בכמה וכמה שפות. הוא ידע: פרסית, יוונית וארמית על בוריין, כן התמצה מאד בשיטות המסחר והסוחרים. אנו מוצאים הרבה מאמרותיו השנונות בתלמוד, ונציין כאן כמה מהם: 

 
"תהא לוטא ולא תהא לאטא", כלומר: מוטב שיקללוך מאשר אתה תקלל אחרים (מסכת סנהדרין דף מט). 

 
"גמלא אזלא למיבעי קרני, אודני דהוה ליה גזיזן מיני". הגמל הלך לבקש קרניים וחתכו לו את האזניים. כלומר: המבקש מרובה – מפסיד גם את המועט (שם דף ק"ו). 

"קבא מארעא ולא כורא מאיגרא". מוטב קב (מדה קטנה) של פירות מהארץ מאשר כור (מדה גדולה) מהגג. כלומר: מוטב לקבל מעט מקרוב מאשר הרבה ומרחוק (מסכת פסחים דף קיג). 

 
כמו-כן אמר רב שאסור לו לאדם להראות חיבה יתירה לאחד מבניו יותר משאר האחים, שכן התוצאה תהיה קנאה שתשרור ביניהם, וסיפור יוסף ואחיו מהווה לנו דוגמא מצויינת. 

 
רב היה ענוותן גדול ותמיד רדף אחר השלום. 

 
לאחר ששהה רב תקופה ארוכה בא"י, החליט רב לחזור לבבל כדי לחזק שם את התורה והיהדות. כשהוא שב לבבל היו שם כבר מגדולי התורה בתקופה ההיא שהנהיגו את העם. ראש הישיבה בנהרדעא היה רב שילא, ה"ריש גלותא" (ראש הגלות, נשיא ישראל שבגולה) היה מר עוקבא, ושמואל היה אז דיין בנהרדעא. 

 
למרות שרב עלה עליהם בתורה ובחוכמה, הוא לא רצה לקחת מהם את שרביט ההנהגה. 

 
הוא בא לבבל בחשאי מבלי לחשוף את זהותו. כשהגיע לנהרדעא לא הכירוהו, והוא הציע את עצמו כמתורגמן לרב שילא. רב שילא הכיר מיד כי המתורגמן הזה אינו אלא רב, ואמר לו "אינני כדאי שתהיה מתורגמן שלי", אך רב התעקש שמכיוון שהוא שכיר יום עליו לעשות את העבודה המוטלת עליו. 

 
בנהרדעא התיידד רב עם שמואל, למרות שהיה צעיר ממנו בימים. בתלמוד פזורות עשרות מחלוקות של רב ושמואל בנושאים שונים. 

 
הוא קיבל משרה מאת ה"ריש גלותא" לפקח ולהשגיח בשווקי העיר שהמידות והמשקלות תהיינה צודקות, ושאיש לא ירעים על המידה או יוריד מן המשקולות. כמו-כן, הייתה לרב מבשלת שיכר, אך ההצלחה לא האירה לו פנים והוא חי בדוחק. 

 
כאשר נפטר ראש הישיבה של נהרדעא, רב שילא, לא רצה רב למלאות את מקומו ושמואל ירש את המשרה הרמה. רב עזב את נהרדעא וחיפש אחר מקום בו יוכל להפיץ את תורתו. כשהגיע לעיר סורא החליט להשתקע במקום ולהפוך אותו למקום תורה. תלמידים רבים נדדו ממרחקים כדי להצטרף לישיבה שהקים, באותם הימים פרנסתו השתפרה אף היא והוא הפך מקורב למלכות. 

 
למרות ענוותנותו הרבה היה רב תקיף ואיתן כאשר המדובר היה על כבוד התורה. 

 
התלמוד הירושלמי מביא בהקשר לכך את הסיפור הבא: פעם שלח רב לקרוא לאחד מגדולי העשירים לדין תורה. הלה התריס בחוצפה: "האם רב יודע מי אני? הלא כל גמלי הערביים לא יוכלו לשאת את מפתחות אוצרותיי"! 

 
כששמע רב את דבריו, הגיב "עושרו לא יארך זמן רב". זמן קצר לאחר-מכן יצאה הוראה מבית המלוכה להחרים את כל רכושו של העשיר. כעת בא העשיר בלב רצוץ וביקש את סליחתו של רב; רב נעתר לו וביקש עליו רחמים, ולא עבר זמן רב והחזירו לו את כל רכושו. 

 
למרות שרב נמנה על הדור הראשון של האמוראים, הוא עדיין נחשב כבן דור התנאים ולפיכך נאמר עליו "רב תנא הוא – ופליג", כלומר: רב נחשב כתנא, ולפיכך יכול לחלוק על תנא אחר. 

 
רב הסתלק בהיותו זקן מופלג.